Matemática básica Ejemplos

$\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Paso 1

Factoriza cada término.

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Paso 1.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Paso 1.2

Multiplica $5$ por $9$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Paso 1.3

Para escribir $\frac{1}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Paso 1.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $45$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{9}{5 \cdot 9} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Paso 1.4.2

Multiplica $5$ por $9$ .

$\frac{9}{45} + \frac{1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 + 1}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Paso 1.6

Suma $9$ y $1$ .

$\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$45, (4 n - 3) \cdot (4 n + 1), 4 n + 1$

Paso 2.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3

Los factores primos para $45$ son $3 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 2.3.1

$45$ tiene factores de $3$ y $15$ .

$3 \cdot 15$

Paso 2.3.2

$15$ tiene factores de $3$ y $5$ .

$3 \cdot 3 \cdot 5$

Paso 2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.5

El MCM de $45, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3 \cdot 3 \cdot 5$

Paso 2.6

Multiplica $3 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Paso 2.6.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 \cdot 5$

Paso 2.6.2

Multiplica $9$ por $5$ .

$45$

Paso 2.7

El factor para $4 n - 3$ es $4 n - 3$ en sí mismo.

$(4 n - 3) = 4 n - 3$

$(4 n - 3)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El factor para $4 n + 1$ es $4 n + 1$ en sí mismo.

$(4 n + 1) = 4 n + 1$

$(4 n + 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.9

El MCM de $4 n - 3, 4 n + 1, 4 n + 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(4 n - 3) (4 n + 1)$

Paso 2.10

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$45 (4 n - 3) (4 n + 1)$

Paso 3

Multiplica cada término en $\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ por $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $\frac{10}{45} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ por $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$\frac{10}{45} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $45$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Factoriza $45$ de $45 (4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$\frac{10}{45} (45 ((4 n - 3) (4 n + 1))) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{10}{45} (45 ((4 n - 3) (4 n + 1))) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$10 ((4 n - 3) (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.2

Expande $(4 n - 3) (4 n + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (4 n (4 n + 1) - 3 (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (4 n (4 n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n + 1)) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (4 n (4 n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$10 (4 \cdot 4 n \cdot n + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.3.1.2

Multiplica $n$ por $n$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.3.1.2.1

Mueve $n$ .

$10 (4 \cdot 4 (n \cdot n) + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.3.1.2.2

Multiplica $n$ por $n$ .

$10 (4 \cdot 4 n^{2} + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n \cdot 1 - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.3.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 3 (4 n) - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.3.1.5

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 12 n - 3 \cdot 1) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.3.1.6

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$10 (16 n^{2} + 4 n - 12 n - 3) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.3.2

Resta $12 n$ de $4 n$ .

$10 (16 n^{2} - 8 n - 3) + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$10 (16 n^{2}) + 10 (- 8 n) + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.5

Simplifica.

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Paso 3.2.1.5.1

Multiplica $16$ por $10$ .

$160 n^{2} + 10 (- 8 n) + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.5.2

Multiplica $- 8$ por $10$ .

$160 n^{2} - 80 n + 10 \cdot - 3 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.5.3

Multiplica $10$ por $- 3$ .

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} (45 (4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + 45 \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.7

Combina $45$ y $\frac{1}{(4 n - 3) (4 n + 1)}$ .

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{45}{(4 n - 3) (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.8

Cancela el factor común de $(4 n - 3) (4 n + 1)$ .

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Paso 3.2.1.8.1

Cancela el factor común.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + \frac{45}{(4 n - 3) (4 n + 1)} ((4 n - 3) (4 n + 1)) = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.1.8.2

Reescribe la expresión.

$160 n^{2} - 80 n - 30 + 45 = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.2.2

Suma $- 30$ y $45$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{n}{4 n + 1} (45 (4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \frac{n}{4 n + 1} ((4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.3.1.2

Combina $45$ y $\frac{n}{4 n + 1}$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n - 3) (4 n + 1))$

Paso 3.3.1.3

Cancela el factor común de $4 n + 1$ .

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Paso 3.3.1.3.1

Factoriza $4 n + 1$ de $(4 n - 3) (4 n + 1)$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n + 1) (4 n - 3))$

Paso 3.3.1.3.2

Cancela el factor común.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = \frac{45 n}{4 n + 1} ((4 n + 1) (4 n - 3))$

Paso 3.3.1.3.3

Reescribe la expresión.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 n (4 n - 3)$

Paso 3.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 n (4 n) + 45 n \cdot - 3$

Paso 3.3.1.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n \cdot n + 45 n \cdot - 3$

Paso 3.3.1.5.2

Multiplica $- 3$ por $45$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n \cdot n - 135 n$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $n$ por $n$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.1

Mueve $n$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 (n \cdot n) - 135 n$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $n$ por $n$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 45 \cdot 4 n^{2} - 135 n$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $45$ por $4$ .

$160 n^{2} - 80 n + 15 = 180 n^{2} - 135 n$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que contengan $n$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $180 n^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$160 n^{2} - 80 n + 15 - 180 n^{2} = - 135 n$

Paso 4.1.2

Suma $135 n$ a ambos lados de la ecuación.

$160 n^{2} - 80 n + 15 - 180 n^{2} + 135 n = 0$

Paso 4.1.3

Resta $180 n^{2}$ de $160 n^{2}$ .

$- 20 n^{2} - 80 n + 15 + 135 n = 0$

Paso 4.1.4

Suma $- 80 n$ y $135 n$ .

$- 20 n^{2} + 55 n + 15 = 0$

Paso 4.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Factoriza $- 5$ de $- 20 n^{2} + 55 n + 15$ .

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Paso 4.2.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 20 n^{2}$ .

$- 5 (4 n^{2}) + 55 n + 15 = 0$

Paso 4.2.1.2

Factoriza $- 5$ de $55 n$ .

$- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n) + 15 = 0$

Paso 4.2.1.3

Factoriza $- 5$ de $15$ .

$- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n) - 5 \cdot - 3 = 0$

Paso 4.2.1.4

Factoriza $- 5$ de $- 5 (4 n^{2}) - 5 (- 11 n)$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n) - 5 \cdot - 3 = 0$

Paso 4.2.1.5

Factoriza $- 5$ de $- 5 (4 n^{2} - 11 n) - 5 (- 3)$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n - 3) = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza.

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Paso 4.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.2.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 n$ .

$- 5 (4 n^{2} - 11 n - 3) = 0$

Paso 4.2.2.1.1.2

Reescribe $- 11$ como $1$ más $- 12$

$- 5 (4 n^{2} + (1 - 12) n - 3) = 0$

Paso 4.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 5 (4 n^{2} + 1 n - 12 n - 3) = 0$

Paso 4.2.2.1.1.4

Multiplica $n$ por $1$ .

$- 5 (4 n^{2} + n - 12 n - 3) = 0$

Paso 4.2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 5 ((4 n^{2} + n) - 12 n - 3) = 0$

Paso 4.2.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- 5 (n (4 n + 1) - 3 (4 n + 1)) = 0$

Paso 4.2.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 n + 1$ .

$- 5 ((4 n + 1) (n - 3)) = 0$

Paso 4.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 5 (4 n + 1) (n - 3) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 n + 1 = 0$

$n - 3 = 0$

Paso 4.4

Establece $4 n + 1$ igual a $0$ y resuelve $n$ .

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Paso 4.4.1

Establece $4 n + 1$ igual a $0$ .

$4 n + 1 = 0$

Paso 4.4.2

Resuelve $4 n + 1 = 0$ en $n$ .

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Paso 4.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 n = - 1$

Paso 4.4.2.2

Divide cada término en $4 n = - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.4.2.2.1

Divide cada término en $4 n = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 4.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 n}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 4.4.2.2.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{- 1}{4}$

Paso 4.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$n = - \frac{1}{4}$

Paso 4.5

Establece $n - 3$ igual a $0$ y resuelve $n$ .

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Paso 4.5.1

Establece $n - 3$ igual a $0$ .

$n - 3 = 0$

Paso 4.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$n = 3$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 5 (4 n + 1) (n - 3) = 0$ verdadera.

$n = - \frac{1}{4}, 3$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{(4 n - 3) \cdot (4 n + 1)} = \frac{n}{4 n + 1}$ sea verdadera.

$n = 3$